Question

18．（1）问题背景
如图甲，∠ADC=∠B=90°，DE⊥AB，垂足为E，且AD=CD，DE=5，求四边形ABCD的面积．

小明发现四边形ABCD的一组领边AD=CD，这就为旋转作了铺垫．于是，小明同学有如下思考过程： 第一步：将△ADE绕点D逆时针旋转90°； 第二步：利用∠A与∠DCB互补， 证明F、C、B三点共线， 从而得到正方形DEBF； 进而求得四边形ABCD的面积．

请直接写出四边形ABCD的面积为25．
（2）类比迁移
如图乙，P为等边△ABC外一点，BP=1，CP=3，且∠BPC=120°，求四边形ABPC的面积．
（3）拓展延伸
如图丙，在五边形ABCDE中，BC=4，CD+AB=4，AE=DE=6，AE⊥AB，DE⊥CD，求五边形ABCDE的面积．

Answer 1

分析 （1）根据四边形ABCD的面积等于正方形EBFD的面积计算即可；
（2）如图乙中，延长PC至D，取CD=1，连接AD．只要证明△ABP≌△ACD（SAS），即可推出四边形ABPC的面积等于△APD的面积；
（3）如图丙中，延长CD至DF=AB，连接EF、BE、CE．只要证明五边形ABCDE的面积等于四边形BCFE的面积即可；

解答 解：（1）由题可知${S_{四边形ABCD}}={S_{正方形DEBF}}={5^2}=25$．
故答案为25．
（2）如图，延长PC至D，取CD=1，连接AD．


∵等边△ABC中，∠BAC=60°．
∵∠BOC=120°，
∴∠BPC=120°，
∴∠BPC+∠BAC=180°，
∴四边形ABPC中，∠ABP+∠ACP=360°-180°=180°，
∴∠ABP=∠ACD=180°-∠ACP，
又∵AB=AC，BP=CD，
∴△ABP≌△ACD（SAS），
∴AP=AP，∠BAP=∠CAP．
∵∠BAP+∠PAC=∠BAC=60°，
∴∠CAD+∠PAC=60°，
∴△APD为等边三角形且PD=PC+CD=3+1=4，
∴${S_{四边形ABPC}}={S_{△ADP}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}×{4^2}=4\sqrt{3}$．

（3）如图，延长CD至DF=AB，连接EF、BE、CE．

∵AB=DF，AE=DE，∠BAE=∠FDE=90°，
∴△ABE≌△DFE（SAS），
∴EB=EF．
∵CD+AB=CD+DF=4，BC=4，
∴CD+DF=CF=BC，
∴△EBC≌△EFC（SSS），
∴${S_{五边形ABCDE}}={S_{四边形BCFE}}=2{S_{△ECF}}=2×\frac{1}{2}×4×6=24$．

点评 本题考查四边形综合题、旋转变换、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．