Question

2．在矩形ABCD中，点O是AC的中点，AC=2AB，延长AB至G，使BG=AB，连接GO交BC于E，延长GO交AD于F．
（1）求证：△ABC≌△AOG；
（2）猜测四边形AECF的形状并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）由已知条件得出AB=AO，AC=AG，由SAS证明△ABC≌△AOG即可；
（2）由矩形的性质得出∠ABC=90°，AD∥BC，得出∠OAF=∠COE，由ASA证明△AOF≌△COE，得出OF=OE，得出四边形AECF是平行四边形，再由全等三角形的对应角相等得出∠AOG=∠ABC=90°，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵点O是AC的中点，
∴AO=CO=$\frac{1}{2}$AC，
∵AC=2AB，BG=AB，
∴AB=AO，AC=AG，
在△ABC和△AOG中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AO}&{\;}\\{∠BAC=∠OAG}&{\;}\\{AC=AG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△AOG（SAS）；
（2）解：四边形AECF是菱形；理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD∥BC，
∴∠OAF=∠COE，
在△AOF和△COE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OAF=∠OCE}&{\;}\\{AO=CO}&{\;}\\{∠AOF=∠COE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴OF=OE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵△ABC≌△AOG，
∴∠AOG=∠ABC=90°，
∴AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．

点评 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．