Question

1．问题背景：
将已知△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，顶点B、C的对应点分别为点B′，C′，连接CC′，且满足CC′∥AB．
探索发现：
（1）若∠BAC=40°，如图1，求旋转角∠CAC′的度数．
（2）若∠BAC=70°，如图2，则旋转角∠CAC′40°
（3）基∠BAC=α，旋转角为β，则β=180°-2α（用含α的代数式表示），其中α=取值范围是0°＜α＜90°．
应用提升：
（1）将矩形ABCD绕其顶点A逆时针旋转得到矩形AB′C′D′，且点C′落在CD的延长线上．
①当BC=1，AB=$\sqrt{3}$时，旋转角的度数为120°．
②若旋转角度为β（0°＜β＜180°），∠BAC=α，则α=90°-$\frac{1}{2}β$（用含β的代数式表示）．

Answer 1

分析 （1）利用旋转的性质和平行线的性质进行计算即可；
（2）利用（1）中的结论解答即可；
（3）利用（1）中的结论得出关系式，进而解出取值范围即可；
应用提升：
（1）①连接AC'和AC，利用旋转的性质和平行线的性质进行计算即可；
②利用①中的结论得出关系式，进而得出代数式即可．

解答 解：（1）如图1：

∵AB∥CC'，
∴∠1=∠BAC=40°，
由旋转可得：AC=AC'，
∴∠1=∠2，
∴∠CAC'=180°-40°-40°=100°；
（2）如图2：

∵AB∥CC'，
∴∠1=∠BAC=70°，
由旋转可得：AC=AC'，
∴∠1=∠2，
∴∠CAC'=180°-70°-70°=40°；
故答案为：40°；
（3）∵AB∥CC'，
∴∠1=∠BAC=α，
由旋转可得：AC=AC'，
∴∠1=∠2，
∴∠CAC'=β=180°-α-α=180°-2α，
∴α的取值范围0°＜α＜90°；
故答案为：180°-2α，0°＜α＜90°；
应用提升：
（1）①连接AC'和AC，如图3：

∵矩形ABCD，BC=1，AB=$\sqrt{3}$，
∴∠BAC=30°，
∵AB∥CC'，
∴∠1=∠BAC=30°，
由旋转可得：AC=AC'，
∴∠1=∠2，
∴∠CAC'=180°-30°-30°=120°；
故答案为：120°；
②∵AB∥CC'，
∴∠1=∠BAC=α，
由旋转可得：AC=AC'，
∴∠1=∠2，
∴∠CAC'=β=180°-α-α=180°-2α，
所以α=90°-$\frac{1}{2}β$．
故答案为：90°-$\frac{1}{2}β$．

点评 此题考查几何变换问题，关键是根据旋转的性质和平行线的性质进行分析解答．