Question

15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点m在x轴的正半轴上，⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C，D两点，且C为弧AE的中点，AE交y轴于G点，若点A的坐标为（-2，0），AE=8，
（1）求证：AE=CD；
（2）求点C坐标和⊙M直径AB的长；
（3）求OG的长．

Answer 1

分析 （1）要证明AE=CD，即证明$\widehat{ACE}=\widehat{CAD}$，由点C是$\widehat{AE}$的中点和AB⊥CD可知，$\widehat{AD}=\widehat{AC}=\widehat{CE}$，从而可得$\widehat{ACE}=\widehat{CAD}$；
（2）由垂径定理可知：OC=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AE=4，所以点C的坐标为（0，4），连接AC和BC后，证明△CAO∽△BAC，可得CA²=AO•AB，从而可求出AB的长度；
（3）由$\widehat{CE}=\widehat{AD}$可知，AG=CG，设AG=x，则OG=4-x，利用勾股定理可列出方程即可求出x的值．

解答 解：（1）∵点C是$\widehat{AE}$的中点，
∴$\widehat{AC}=\widehat{CE}$，
∵AB⊥CD，
∴由垂径定理可知：$\widehat{AC}$=$\widehat{AD}$，
∴$\widehat{AC}=\widehat{CE}=\widehat{AD}$，
∴$\widehat{ACE}=\widehat{CAD}$，
∴AE=CD；

（2）连接AC、BC，
由（1）可知：CD=AE=8，
∴由垂径定理可知：OC=$\frac{1}{2}$CD=4，
∴C的坐标为（0，4），
由勾股定理可求得：CA²=2²+4²=20，
∵AB是⊙M的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=∠CAB，
∴△CAO∽△BAC，
∴$\frac{CA}{AO}=\frac{AB}{CA}$，
∴CA²=AO•AB，
∴AB=$\frac{20}{2}$=10；

（3）由（1）可知：$\widehat{CE}=\widehat{AD}$，
∴∠ACD=∠CAE，
∴AG=CG，
设AG=x，
∴CG=x，OG=OC-CG=4-x，
∴由勾股定理可求得：AO²+OG²=AG²，
∴2²+（4-x）²=x²，
∴x=$\frac{5}{2}$，
∴OG=4-x=$\frac{3}{2}$

点评 本题考查圆的综合问题，涉及垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识进行解答．