Question

如图，已知三角形ABC的底BC=1cm，面积为1cm²，A₁，B₁分别为AB，AC的中点，A₂，B₂分别为A₁B，B₁C的中点，以此类推：A₄B₄=

 

，S_△AA4B4=

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,三角形中位线定理,梯形中位线定理

专题：规律型

分析：根据三角形中位线定理求出A₁B₁=

1

2

BC=

1

2

cm，再根据梯形中位线定理可求出A₄B₄的长；根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求出S_△AA4B4．

解答：解：∵A₁，B₁分别为AB，AC的中点，
∴A₁B₁是三角形ABC的中位线，
∴A₁B₁∥BC，A₁B₁=

1

2

BC=

1

2

cm．
∵A₁B₁∥BC，A₂，B₂分别为A₁B，B₁C的中点，
∴A₂B₂是梯形A₁BCB₁的中位线，
∴A₂B₂∥BC，A₂B₂=

1

2

（A₁B₁+BC）=

1

2

（

1

2

+1）=

3

4

cm，
同理，A₃B₃=

1

2

（A₂B₂+BC）=

1

2

（

3

4

+1）=

7

8

cm，
A₄B₄=

1

2

（A₃B₃+BC）=

1

2

（

7

8

+1）=

15

16

cm；
∵A₄B₄∥BC，
∴△AA₄B₄∽△ABC，
∴S_△AA4B4：S_△ABC=（A₄B₄：BC）²，
即S_△AA4B4：1=（

15

16

：1）²=

225

256

，
∴S_△AA4B4=

225

256

cm²．
故答案

15

16

cm；

225

256

cm²．

点评：本题考查了三角形中位线定理、梯形中位线定理和相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是关键．