Question

如上图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E．
（1）求证：△ADC为等边三角形；
（2）若BD=2cm，BE=

3

cm，求△ABC的周长．

Answer 1

考点：等边三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质,含30度角的直角三角形

专题：

分析：（1）先求出∠A=60°，再证出∠DCB=∠B=30°，得出∠ACD=60°，∠ADC=60°，得出∠ADC=∠A=∠ACD，因此△ADC为等边三角形；
（2）求出AC、BE、AB的长即可求出周长．

解答：（1）证明：∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
∴∠DCB=∠B=30°，
∴∠ACD=90°-30°=60°，∠ADC=∠B+∠DCB=60°，
∴∠ADC=∠A=∠ACD，
∴△ADC为等边三角形；
（2）解：由（1）得：△ADC是等边三角形，
∴AD=CD=AC，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴CD=BD=2，CE=BE=

3

，
∴AC=CD=2，BC=2

3

，AB=4，
∴AB+AC+BC=4+2+2

3

=6+2

3

．

点评：本题考查了等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及含30°角的直角三角形的性质；培养学生综合运用定理进行推理论证的能力．