Question

如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为MN．
（1）求证：BM=EN；
（2）若DN：CM=1：4，求

MN

BM

的值．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）,全等三角形的判定与性质,勾股定理,菱形的判定与性质,矩形的判定与性质

专题：几何综合题

分析：（1）若要证明BM=EN，则可转化为证明△ABM≌△AEN即可；
（2）连接CN，过点N作NG⊥BC于G，由四边形ABCD是矩形，易得四边形CDNG是矩形，又由折叠的性质，可得四边形AMCN是菱形，由△CDN的面积与△CMN的面积比为1：4，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，可得DN：CM=1：4，然后设DN=x，由勾股定理可求得MN的长，继而求得答案．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠B=∠BCD=90°，∠C=∠BAD=90°，
∵∠BAM+∠MAN=∠EAN+∠MAN=90°，
∴∠BAM=∠EAN，
∵将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为MN，
∴∠C=∠E=90°，
∴∠B=∠E=90°，
在△ABM和△AEN中，

∠BAM=∠EAN AB=AE ∠B=∠E=90°

，
∴△ABM≌△AEN（ASA），
∴BM=EN；

（2）连接CN，过点N作NG⊥BC于G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形CDNG是矩形，AD∥BC，
∴CD=NG，CG=DN，∠ANM=∠CMN，
由折叠的性质可得：AM=CM，∠AMN=∠CMN，
∴∠ANM=∠AMN，
∴AM=AN，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵AM=CM，
∴四边形AMCN是菱形，
∵△CDN的面积与△CMN的面积比为1：4，
∴DN：CM=1：4，
设DN=x，
则AN=AM=CM=CN=4x，AD=BC=5x，CG=x，
∴BM=x，GM=3x，
在Rt△CGN中，NG=

CN2-CG2

=

15

x，
在Rt△MNG中，MN=

GM2+NG2

=2

6

x，
∴

MN

BM

=2

6

．

点评：此题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意折叠中的对应关系，注意数形结合与方程思想的应用．