Question

如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC的中垂线DE于D，交AC于H，连接AD，DG⊥BC于G，交AC于K，延长BA至F，使AF=GC，连接DF．
（1）当∠1+2∠2=90°时，证明：DH=DK；
（2）当∠1=∠3时，证明：DF⊥AF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,线段垂直平分线的性质

专题：证明题

分析：（1）根据余角的性质先求得∠DKE=∠GKC=90°-∠2，然后根据外角的性质求得∠DHE=∠1+∠2，再根据已知即可求得．
（2）根据线段的存在平分线的性质求得∠3=∠DCA，然后根据三角形的外角的性质和已知条件求得∠FAD=∠DCB，进而求得△AFD≌△CGD，根据全等三角形的性质即可求得∠AFD=∠DGC=90°

解答：证明：（1）∵∠1+2∠2=90°，
∴∠1+∠2=90°-∠2，
∵DG⊥BC，
∴∠DKE=∠GKC=90°-∠2，
∵∠DHE=∠1+∠2
∴∠DHE=∠DKE，
∴DH=DK；

（2）连接DC，
∵DE垂直平分AC，
∴DA=DC，∠3=∠DCA，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠1，
∴∠FAD+∠3=2∠1+∠2，
∵∠1=∠3，
∴∠FAD=∠2+∠3，
∴∠DCB=∠2+∠DCA=∠2+∠3，
∴∠FAD=∠DCB，
在△AFD与△CGD中，

AF=GC ∠FAD=∠DCB DA=DC

∴△AFD≌△CGD（SAS）
∴∠AFD=∠DGC，
∵∠DGC=90°，
∴∠AFD=90°，
∴DF⊥AF

点评：此题考查了三角形外角的性质，三角形余角的性质，三角形全等的判定及性质，关键是根据题意做出辅助线，构造全等三角形，运用数形结合思想解答．