Question

7．矩形ABCD，BK平分∠DBC，PF⊥AD，PE⊥AB，AB=2AD，
（1）结论：DM=5ME+DN；（2）正方形ABCD，结论：GC=$\sqrt{2}$CF+2EG．

Answer 1

分析 （1）由矩形和平行线的性质得出∠1=∠2=∠3，证出BM=PM，得出△MNP∽△BEM∽△ABD，设ME=k，则BE=2k，PM=BM=$\sqrt{5}$k，PN=2$\sqrt{5}$k，由勾股定理求出MN=5k，得出DM=DN+MN=5k+DN=5ME+DN即可；
（2）由正方形的性质得出∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6=45°，∠7=∠8=∠9，设EG=AE=k，则PG=AG=$\sqrt{2}$k，PH=GP=$\sqrt{2}$k，GH=2k，CH=$\sqrt{2}$CF，即可得出结论．

解答 证明：（1）由题意得：∠1=∠2=∠3，
∴BM=PM，
∴△MNP∽△BEM∽△ABD，
∴$\frac{BE}{ME}=\frac{PN}{PM}=\frac{AB}{AD}$=2，
设ME=k，则BE=2k，PM=BM=$\sqrt{5}$k，PN=2$\sqrt{5}$k，
∴MN=$\sqrt{（\sqrt{5}k）^{2}+（2\sqrt{5}k）^{2}}$=5k，
∴DM=DN+MN=5k+DN=5ME+DN；
（2）由题意得：
∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6=45°，∠7=∠8=∠9，
设EG=AE=k，则PG=AG=$\sqrt{2}$k，PH=GP=$\sqrt{2}$k，GH=2k，CH=$\sqrt{2}$CF，
∴GC=GH+HC=$\sqrt{2}$CF+2EG．

点评 本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形和正方形的性质是解决问题的关键．