Question

12．（1）如图1，已知直线AB∥CD，点E是AB上方一点，MF平分∠AME，若点G恰好在MF的反向延长线上，且NE平分∠CNG，2∠E与∠G互余，求∠AME的大小．
（2）如图2，在（1）的条件下，若点P是EM上一动点，PQ平分∠MPN，NH平分∠PNC，交AB于点H，PJ∥NH，当点P在线段EM上运动时，∠JPQ的度数是否改变？若不变，求出其值；若改变，请说明你的理由．

Answer 1

分析 （1）设FG与NE交点为H点，AB与NE的交点I，点在△HNG中由三角形内角和定理可知∠G+∠HNG+∠NHG=180°，再由MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠E+∠G=90°可得出90°+$\frac{1}{2}$∠AME=180°，由此可得出结论；
（2）根据PQ平分∠MPN，NH平分∠PNC可得出∠JPQ=∠JPN-$\frac{1}{2}$∠MPN，由此得出结论．

解答 解：（1）如图，设FG与NE交点为H点，AB与NE的交点I，

在△HNG中，∵∠G+∠HNG+∠NHG=180°
∴∠HNG=∠AIE=∠IHM+∠IMH=（∠E+∠EMF）+∠IMH=∠E+（∠EMF+∠IMH ）=∠E+∠AME
∠NHG=∠IHM=∠E+∠EMF=∠E+$\frac{1}{2}$∠AME
∴∠G+∠HNG+∠NHG=∠G+（∠E+∠AME）+（∠E+$\frac{1}{2}$∠AME）=180° （∠G+2∠E）+$\frac{3}{2}$∠AME=180°，即90°+$\frac{3}{2}$∠AME=180°，
∴∠AME=60°；

（2）∠JPQ的度数不改变，
∵PQ平分∠MPN，NH平分∠PNC，
∴∠JPQ=∠JPN-$\frac{1}{2}$∠MPN
=$\frac{1}{2}$（∠ENC-$\frac{1}{2}$∠MPN）
=$\frac{1}{2}$（∠AOE-$\frac{1}{2}$∠MPN）
=$\frac{1}{2}$∠AME
=30°．

点评 本题考查的是平行线的性质，涉及到三角形外角的性质、角平分线的性质及三角形内角和定理，难度较大．