Question

10．如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连结AE．F为AE上一点，且∠BFE=∠C．下列结论：
①△ABE与△CBE相似；②$\frac{DC}{AE}=\frac{BF}{BC}$；③∠ABF=∠DAE；④DE=BC；  
其中正确的是（　　）

• A． ①②③④
• B． ②③
• C． ②④
• D． ③

Answer 1

分析 ①在平行四边形ABCD中，根据平行线的性质得到BE⊥CD，于是得到∠ABE=∠BEC=90°，由于只有一对角对应相等，于是得到△ABE与△CBE不一定相似；故①错误；②根据平行线的性质得到∠BAF=∠AED，∠D+∠C=180°，由已知条件得到∠AFB+∠BFE=180°∠BFE=∠C，求得∠AFB=∠D，推出△ABF∽△ADE，于是得到$\frac{AB}{AE}=\frac{BF}{AD}$，等量代换得到$\frac{DC}{AE}=\frac{BF}{BC}$，故②正确；③根据相似三角形的性质即可得到∠ABF=∠DAE；故③正确；④由于AD=BC，DE不一定等于AD，于是得到DE不一定等于BC，故④错误．

解答 证明：①在平行四边形ABCD中，
∵AB∥CD，
∵BE⊥CD，
∴BE⊥AB，
∴∠ABE=∠BEC=90°，
∴只有一对角对应相等，
∴△ABE与△CBE不一定相似；故①错误；
②∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠BAF=∠AED，∠D+∠C=180°，
∵∠AFB+∠BFE=180°∠BFE=∠C，
∴∠AFB=∠D，
∴△ABF∽△ADE，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{BF}{AD}$，
∵CD=AB，BC=AD，
∴$\frac{DC}{AE}=\frac{BF}{BC}$，故②正确；
③∵△ABF∽△ADE，
∴∠ABF=∠DAE；故③正确；
④∵AD=BC，DE不一定等于AD，
∴DE不一定等于BC，故④错误．
故选B．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．