Question

2．如图，等边三角形ABC的边长为4，高为h．
（1）三角形ABC的面积是4$\sqrt{3}$；
（2）O是△ABC内的任意一点，过O作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为D、E、F，则OD+OE+OF=2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）过点A作AG⊥BC于点G，由等边三角形的性质求出BG的长，再根据勾股定理即可得出AG的长；
（2）连接OA，OB，OC，根据三角形的面积公式即可得出结论．

解答 解：（1）如图，过点A作AG⊥BC于点G，
∵AB=AC=BC=4，
∴BG=$\frac{1}{2}$BC=2，
∴AG=$\sqrt{{AB}^{2}-{BG}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，即h=2$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•h=$\frac{1}{2}$×4×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$．
故答案为：4$\sqrt{3}$；

（2）连接OA，OB，OC，
∵S_△ABC=S_△ABO+S_△BOC+S_△AOC=$\frac{1}{2}$AB×（OD+OD+OF）=$\frac{1}{2}$BC•AG，
∴OD+OD+OF=AG=2$\sqrt{3}$．
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形三线合一的性质是解答此题的关键．