题目内容
对于任意给定的n个自然数，其中一定存在若干个数，它们的和是n的倍数．
考点：抽屉原理
专题：数字问题,证明题
分析：假设n个自然数是a1，a2，a3，an，而且考虑如下形式的和：S1=a1，S2=a1+a2，Sn=a1+a2+a3+…+an．讨论这n个和S1，S2，Sn中，是否存在一个数是n的倍数，若不存在，则根据屉原则，必然存在两个数它们被n除的余数相同，进而证明两个数的差Sk-Sj一定是n的倍数．
解答：解：假设n个自然数是a1，a2，a3，…，an，而且考虑如下形式的和：S1=a1，S2=a1+a2，Sn=a1+a2+a3+…+an．
如果在这n个和S1，S2，Sn中，存在一个数是n的倍数，则原命题成立．
如果在n个和S1，S2，Sn中，没有n的倍数的数，那么它们被n除所得的余数只可能是1，2，n-1共n-1种情况．但由于S1，S2，Sn共有n个数，从而根据抽屉原则，必然存在两个数它们被n除的余数相同．不妨设在这两个数是Sk与Sj（k＞j），那么这两个数的差Sk-Sj一定是n的倍数．
也就是说，有：Sk-Sj=（a1+a2+a3+…+aj+aj+aj+2+…+ak）-（a1+a2+a3+…+aj）=aj+1+aj+2+…+ak，
这表明：这时从第j+1个数起，一直到第k个数．它们的和正好是n的倍数．
如果在这n个和S1，S2，Sn中，存在一个数是n的倍数，则原命题成立．
如果在n个和S1，S2，Sn中，没有n的倍数的数，那么它们被n除所得的余数只可能是1，2，n-1共n-1种情况．但由于S1，S2，Sn共有n个数，从而根据抽屉原则，必然存在两个数它们被n除的余数相同．不妨设在这两个数是Sk与Sj（k＞j），那么这两个数的差Sk-Sj一定是n的倍数．
也就是说，有：Sk-Sj=（a1+a2+a3+…+aj+aj+aj+2+…+ak）-（a1+a2+a3+…+aj）=aj+1+aj+2+…+ak，
这表明：这时从第j+1个数起，一直到第k个数．它们的和正好是n的倍数．
点评：本题主要考查抽屉原理的知识点，解答本题的关键是讨论这n个和S1，S2，Sn中，是否存在一个数是n的倍数，利用抽屉原理进行解答，本题难度较大．
练习册系列答案
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若a，b是两个正数，且
+
+1=0，则（ ）
| a-1 |
| b |
| b-1 |
| a |
A、0＜a+b≤
| ||
B、
| ||
C、1＜a+b≤
| ||
D、
|
实数a、b、m、n满足a＜b，-1＜n＜m，若M=
，N=
，则M与N的大小关系是（ ）
| a+mb |
| 1+m |
| a+nb |
| 1+n |
| A、M＞N | B、M=N |
| C、M＜N | D、无法确定的 |
在如图所示的方格纸中，点A、B、C都在方格线的交点．则∠ACB=（ ）| A、120° | B、135° |
| C、150° | D、165° |