Question

17．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D、E．
（1）求证：BD=CD；
（2）若AB=8，∠A=60°，求弓形AE的面积．

Answer 1

分析 （1）连接AD，根据圆周角定理的推论得到∠BDA=90°，再根据等腰三角形的性质即可得到BD=CD；
（2）连接OE，先求得∠AOE，再用扇形AOE的面积减去△AOE的面积即可得出弓形AE的面积．

解答 证明：（1）连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BDA=90°，
∴AD⊥BC．
∵AB=AC．
∴BD=CD；
（2）连接OE，
∵AB=8，∠A=60°，
∴OA=OE=4，∠AOE=60°，
∴S_弓形AE=S_扇形AOE-S_△AOE=$\frac{60π×{4}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×4×2$\sqrt{3}$=$\frac{8}{3}$π-4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了扇形面积和等腰三角形的性质以及圆周角定理的推论：直径所对的圆周角为直角．掌握扇形的面积公式、三角形的面积公式以及弓形的面积公式是解题的关键．