如图.已知直线y=$\frac{3}{4}$x+3与坐标轴交于B.C两点.点A是x轴正半轴上一点.并且S△ABC=15.点F是线段AB上一动点.过点F作FE∥x轴.交BC于E．(1)求AB所在直线的解析式,(2)若FD⊥x轴于D.且点D的坐标为(m.0).请用含m的代数式表示DF与EF的长,(3)在x轴上是否存在一点P.使得△PEF为等腰直角三角形?若存在.请直接写出点P的坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．

如图，已知直线y=$\frac{3}{4}$x+3与坐标轴交于B，C两点，点A是x轴正半轴上一点，并且S_△ABC=15，点F是线段AB上一动点（不与端点重合），过点F作FE∥x轴，交BC于E．
（1）求AB所在直线的解析式；
（2）若FD⊥x轴于D，且点D的坐标为（m，0），请用含m的代数式表示DF与EF的长；
（3）在x轴上是否存在一点P，使得△PEF为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）由直线y=$\frac{3}{4}$x+3可求得B、C坐标，再结合S_△ABC=15，则可求得A点坐标，利用待定系数法可求得直线AB的解析式；
（2）根据直线AB解析式可求得F点的纵坐标，即可表示出DF的长，由EF∥x轴则可得出E点纵坐标，代入直线BC解析式可求得E点横坐标，从而可表示出EF的长；
（3）设P（t，0），当∠PFE=90°时，则有PF=EF，则可得到关于x的方程，可求得P点坐标；当∠PEF=90°时，则有PE=EF=DF，可求得P点坐标；当∠EPF=90°时，过P作PH⊥EF，由等腰直角三角形的性质可知PH=$\frac{1}{2}$EF，可求得D点坐标，从而可求得P点坐标．

解答解：
（1）在y=$\frac{3}{4}$x+3中，令x=0可得y=3，令y=0可求得x=-4，
∴B（0，3），C（-4，0），
∴OB=3，OC=4，
∵S_△ABC=15，
∴$\frac{1}{2}$AC•OB=15，即$\frac{1}{2}$（OA+4）×3=15，解得OA=6，
∴A（6，0），
设直线AB解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线AB解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3；
（2）∵FD⊥x轴，且D（m，0），
∴F点横坐标为m，
在y=-$\frac{1}{2}$x+3中，令x=m，可得y=-$\frac{1}{2}$m+3，
∴DF=-$\frac{1}{2}$m+3，
∵EF∥x轴，
∴E点纵坐标为-$\frac{1}{2}$m+3，
在y=$\frac{3}{4}$x+3中，令y=-$\frac{1}{2}$m+3，可得-$\frac{1}{2}$m+3=$\frac{3}{4}$x+3，解得x=-$\frac{2}{3}$m，
∵F在线段AB上，
∴0＜m＜6
∴EF=m+$\frac{2}{3}$m=$\frac{5}{3}$m；
（3）假设存在满足条件的点P，设其坐标为（t，0），
∵△PEF为等腰直角三角形，
∴有∠PFE=90°、∠PEF=90°和∠EPF=90°三种情况，
①当∠PFE=90°时，则有PF=EF，
由（2）可得PF=-$\frac{1}{2}$t+3，EF=$\frac{5}{3}$t，
∴-$\frac{1}{2}$t+3=$\frac{5}{3}$t，解得t=$\frac{18}{13}$，
∴P（$\frac{18}{13}$，0）；
②当∠PEF=90°时，则有PE=EF，
在y=$\frac{3}{4}$x+3中，令x=t可得y=$\frac{3}{4}$t+3，
∴PE=$\frac{3}{4}$t+3，
在y=-$\frac{1}{2}$x+3中，令y=$\frac{3}{4}$t+3，可得$\frac{3}{4}$t+3=-$\frac{1}{2}$x+3，解得x=-$\frac{3}{2}$t，
∴EF=-t+（-$\frac{3}{2}$t）=-$\frac{5}{2}$t，
∴$\frac{3}{4}$t+3=-$\frac{5}{2}$t，解得t=-$\frac{12}{7}$，
∴P（-$\frac{12}{7}$，0）；
③当∠EPF=90°时，如图，过P作PH⊥EF于点H，则PH=HF=PD=EH=DF，

由（2）可知DF=-$\frac{1}{2}$m+3，EF=$\frac{5}{3}$m，
∴-$\frac{1}{2}$m+3=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{3}$m，解得m=$\frac{9}{4}$，
∴PD=DF=-$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{4}$+3=$\frac{15}{8}$，OD=$\frac{9}{4}$，
∴OP=OD-PD=$\frac{9}{4}$-$\frac{15}{8}$=$\frac{3}{8}$，
∴P（$\frac{3}{8}$，0）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（$\frac{18}{13}$，0）或（-$\frac{12}{7}$，0）或P（$\frac{3}{8}$，0）．

点评本题为一次函数的综合应用，涉及三角形的面积、待定系数法、函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、方程思想及分类讨论思想．在（1）中求得A点坐标是解题的关键，在（2）中分别表示出E、F的坐标是解题的关键，在（3）中确定出P点的位置，利用等腰直角三角形的性质得到关于P点坐标的方程是解题的关键，注意分三种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．