Question

1．如图，正方形ABCD中，点E是CD的中点，DF=$\frac{1}{4}$AD，EG⊥BF于G，求证：BE²=BG•BF．

Answer 1

分析 根据正方形的性质得到∠D=∠C=90°，根据已知条件得到△DEF∽△CBE，根据相似三角形的性质得到∠DEF=∠CBE，得到∠FEB=90°，根据射影定理即可得到结论．

解答 证明：在正方形ABCD中，
∵∠D=∠C=90°，
∵点E是CD的中点，DF=$\frac{1}{4}$AD，
∴$\frac{DF}{DE}$=$\frac{CE}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴△DEF∽△CBE，
∴∠DEF=∠CBE，
∵∠CBE+∠BEC=90°，
∴∠DEF+∠BEC=90°，
∴∠FEB=90°，
∵EG⊥BF，
∴BE²=BG•BF．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，射影定理，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．