Question

19．如图，一次函数y₁=-x+2的图象与反比例函数y₂=$\frac{k}{x}$的图象相交于A，B两点，与x轴相交于点C，已知点B的纵坐标为-2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）已知S_△AOB的面积为6，则A（-2，4）；
（3）当y₁＜y₂时，直接写出x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用一次函数y₁=-x+2的图象经过点B，可得B（4，-2），把B（4，-2）代入反比例函数y₂=$\frac{k}{x}$，可得反比例函数的解析式；
（2）设点A（a，b），根据S_△AOB的面积为6，可得$\frac{1}{2}$OC（|b|+|-2|）=6，进而得到b的值，再根据反比例函数解析式，即可得到点A的坐标；
（3）根据一次函数y₁=-x+2的图象在反比例函数y₂=$\frac{k}{x}$的图象下方，可得对应的自变量x的取值范围．

解答 解：（1）在一次函数y₁=-x+2中，令y=-2，可得
-2=-x+2，
解得x=4，
∴B（4，-2），
把B（4，-2）代入反比例函数y₂=$\frac{k}{x}$，可得
k=-2×4=-8，
∴反比例函数的解析式为y=-$\frac{8}{x}$；

（2）设点A（a，b），则
由S_△AOB的面积为6，可得$\frac{1}{2}$OC（|b|+|-2|）=6，
∴$\frac{1}{2}$×2×（|b|+2）=6，
解得b=4，（负值已舍去）
又∵ab=-8，
∴a=-2，
∴A（-2，4），
故答案为：-2，4；

（3）∵A（-2，4），B（4，-2），
∴当y₁＜y₂时，-2＜x＜0或x＞4．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及数形结合思想的运用．