Question

如图，直线y=2x+2与y轴交于A点，与反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且OA=2OH
（1）求k的值；
（2）点N（a，1）是反比例函y=

k

x

（x＞0）图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得PM+PN最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）先由直线y=2x+2与y轴交于A点，求出A点坐标为（0，2），OA=2，根据OA=2OH，得出OH=1．由MH⊥x轴可知M点横坐标为1，而点M在直线y=2x+2上，所以当x=1时，y=2×1+2=4，即M（1，4），再将点M的坐标代入y=

k

x

，即可求出k的值；
（2）先由点N（a，1）是反比例函y=

4

x

（x＞0）图象上的点，求出a=4，即点N（4，1）．再作N关于x轴的对称点N′，连结MN′，交x轴于点P，此时PM+PN最小．根据关于x轴对称的两点的坐标特征得出点N′（4，-1），利用待定系数法求出直线MN′的解析式，再令y=0，求出x的值，进而得到点P的坐标．

解答：解：（1）∵直线y=2x+2与y轴交于A点，
∴A点坐标为（0，2），OA=2，
∵OA=2OH，
∴OH=1．
∵MH⊥x轴，
∴M点横坐标为1，
∵点M在直线y=2x+2上，
∴当x=1时，y=2×1+2=4，
∴M（1，4），
∵点M在反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象上，
∴k=1×4=4；

（2）存在．
∵点N（a，1）是反比例函y=

4

x

（x＞0）图象上的点，
∴a=4，即点N（4，1）．
作N关于x轴的对称点N′，连结MN′，交x轴于点P，此时PM+PN最小．
∵N与N′关于x轴，点N（4，1），
∴点N′（4，-1）．
设直线MN′的解析式为y=mx+n，
则

m+n=4 4m+n=-1

，解得

m=- 5 3 n= 17 3

，
∴直线MN′的解析式为y=-

5

3

x+

17

3

，
令y=0，得x=

17

5

，
∴点P的坐标为（

17

5

，0）．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及轴对称的性质．