Question

6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点O为边AC上一点，以O为圆心AO为半径的⊙O与AB相交于点D，且CD与圆O相切于点D．
（1）求证：CD=CB；
（2）若CE=2，CB=3，求sinA．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由切线的性质得到∠CDO=90°，于是得到∠ADO+∠BDC=90°，根据直角三角形的性质得到∠A+∠B=90°，由等腰三角形的性质得到∠A=∠ADO，等量代换得到∠BDC=∠B，即可得到结论；
（2）设⊙O的半径为r，根据勾股定理得到r=$\frac{5}{4}$，求得AE=$\frac{5}{2}$，AC=$\frac{9}{2}$，由勾股定理得到AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，根据三角函数的定义即可得到结论．

解答 解：（1）连接OD，
∵CD与圆O相切于点D，
∴∠CDO=90°，
∴∠ADO+∠BDC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵OD=OA，
∴∠A=∠ADO，
∴∠BDC=∠B，
∴CD=CB；

（2）设⊙O的半径为r，
∴OD=OE=r，
∵CE=2，CB=3，
∴CD=3，OC=2+r，
∴r²+3²=（2+r）²，
∴r=$\frac{5}{4}$，
∴AE=$\frac{5}{2}$，∴AC=$\frac{9}{2}$，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∴sinA=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理；熟练掌握切线的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．