Question

15．如图所示，在矩形OABC中，以O为圆心，OA为半径作圆，交OC，于点D，连接BD并延长，交⊙O于点E，连接OE，EC，EC=BC．
（1）判断EC与⊙O的位置关系，并给予证明．
（2）过点A作AF⊥BD于点F，求证：BF=DF．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质推出OC∥AB，∠ABC=90°，根据平行线的性质得出∠ABE=∠ODE，根据等腰三角形的性质得出∠OED=∠ODE，∠EBC=∠BEC，从而得出∠ABE=∠OED，进一步得出∠ABE+∠EBC=∠ABC=90°=∠OED+∠BEC，得出OE⊥CE，即可证得CE与⊙O相切；
（2）连接AD，根据等腰直角三角形的性质得出∠EOC=∠ODA=45°，证得OE∥AD，根据平行线的性质进一步得出∠ADB=∠ABE，得出△ABD是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质即可证得结论．

解答 （1）证明：∵四边形OABC是矩形，
∴OC∥AB，∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠ODE，
∵OD=OE，
∴∠OED=∠ODE，
∴∠ABE=∠OED，
∵EC=BC，
∴∠EBC=∠BEC，
∵∠ABE+∠EBC=∠ABC=90°，
∴∠OED+∠BEC=90°，
∴OE⊥CE，
∴CE与⊙O相切；
（2）证明：连接AD，
∵OA=OE=0D，OA=BC，EC=BC，
∴OE=BC，
∴△AOD和△OEC是等腰直角三角形，
∴∠EOC=∠ODA=45°，
∴OE∥AD，
∴∠ADB=∠OED，
∵∠ABE=∠OED，
∴∠ADB=∠ABE，
∴AD=AB，
∵AF⊥BD于点F，
∴BF=DF．

点评 本题考查了切线的判定，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质等，熟练掌握性质定理是解题的关键．