Question

18．如图，已知△ABC内接于⊙O，∠BOC=2∠AOC，过点A作直线DF∥OC，交BC的延长线于点D，交⊙O于点F，连接BF．
（1）求证：∠BAC=2∠ABC；
（2）若∠BAC=40°，AB=3.2，BD=4．
①求∠BAF的度数；②求$\frac{AF}{BF}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理和等量代换即可得到结论．
（2）①根据∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC，∠BAC=40°，求得∠BOC=2∠BAC=80°，由（1）知，∠BAC=2∠ABC，于是得到∠ABC=20°，∠ACD=∠BAC+∠ABC=60°，由四边形AFBC是⊙O的内接四边形，得到∠F=∠ACD=60°，由于OB=OC，求得∠OBC=∠OCB=$\frac{1}{2}$（180°-80°）=50°，根据平行线的性质得到∠D=∠OCB=50°，由于∠DBF=180°-∠F-∠D，于是求得∠DBF=180°-60°-50°=70°；
②由①得∠ABC=20°，∠D=50°，证得∠BAF=∠DBF，由于∠F=∠F，推出△ABF∽△BDF，即可得到结论．

解答 （1）证明：连接AC，
∵∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC，∠ABC=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠BOC=2∠AOC，
∴∠BAC=∠AOC=2∠ABC；

（2）解：①∵∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC，∠BAC=40°，
∴∠BOC=2∠BAC=80°，由（1）知，∠BAC=2∠ABC，
∴∠ABC=20°，
∴∠ACD=∠BAC+∠ABC=60°，
∵四边形AFBC是⊙O的内接四边形，
∴∠F=∠ACD=60°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=$\frac{1}{2}$（180°-80°）=50°，
∵DF∥OC，
∴∠D=∠OCB=50°，
∵∠DBF=180°-∠F-∠D，
∴∠DBF=180°-60°-50°=70°，
②由①得∠ABC=20°，∠D=50°，
∴∠BAF=∠ABD+∠D=20°+50°=70°，
∵∠DBF=70°，
∴∠BAF=∠DBF，
∵∠F=∠F，
∴△ABF∽△BDF，
∴$\frac{AB}{BD}=\frac{AF}{BF}$=$\frac{3.2}{4}$=$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握这些定理是解题的关键．