Question

6．在正方形ABCD中，过点A引射线AH，交边CD于点H（H不与点D重合）．通过翻折，使点B落在射线AH上的点G处，折痕AE交BC于E，连接E、G且延长EG交CD于F．
【感知】如图2，当点H为边CD上任意一点时（点H与点C不重合）．连接AF，可得FG与FD的大小关系是FG=FD；
【探究】如图1，当点H与点C重合时，证明△CFE是等腰直角三角形．
【应用】①在图2，当AB=5，BE=3时，利用探究的结论，求CF的长；
②在图1中，当AB=5，是否存在△CFE的面积等于0.5，如存在，求出BE的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 【感知】由折叠和正方形的性质得到结论判断出RT△AFG≌RT△AFD即可；
【探究】同（1）的方法判断出Rt△EGC≌Rt△FGC即可．
【应用】①在Rt△ECF中，利用勾股定理得到，FE²=FC²+EC²，求出FG，即可；
②由△ECF的面积为S=0.5建立$\frac{1}{2}$EC×FC=$\frac{1}{2}$（5-y）²求解即可．

解答 解：[感知]：
如图②，连接AF，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABE=90°，
由折叠得，∠AGE=∠ABC=90°，AG=AB=AD，
在RT△AFG和RT△AFD，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AF}\\{AD=AG}\end{array}\right.$，
∴RT△AFG≌RT△AFD，
∴FG=FD，
故答案为=；
【探究】连接AF，
②∵BC⊥CD，∠EGC=∠FGC=90°，
AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠ECG=∠FCG=45°，
在△EGC=△FGC中
   $\left\{\begin{array}{l}{∠EGC=∠FGC}\\{GC=GC}\\{∠ECG=∠FCG}\end{array}\right.$
∴Rt△EGC≌Rt△FGC．
∴∠CEG=∠CFG，
∵∠ECF=90°，
∴△CFE是等腰直角三角形，
【应用】①设FG=x，则FC=5-x，FE=3+x，
在Rt△ECF中，FE²=FC²+EC²，
即（3+x）²=（5-x）²+2²
解得x=$\frac{5}{4}$，即FG的长为$\frac{5}{4}$．
∴FD=FG=$\frac{5}{4}$
CF=CD-FD=5-$\frac{5}{4}$=$\frac{15}{4}$
②由折叠性质可得∠EGA=∠B=90°
EC=FC
设BE=y，则EC=FC=5-y，
△ECF的面积为S=$\frac{1}{2}$EC×FC=$\frac{1}{2}$（5-y）²=0.5
整理得  y²-10y+24=0，
解得y₁=4，y₂=6（舍去），
∴BE=4，此时EC=FC=5-y=1，
而EF=2EG=2BE=8，CE，CF，EF不能构成三角形，所以不存在，
故当AB=5，不存在△CFE的面积等于0.5．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积公式，用勾股定理求出FG是解本题的关键．