Question

3．如图，AB=12，且AB为⊙O的切线，BC为⊙O的直径，AO与⊙O交于点D、AD=8．
（1）求DC的长；
（2）若△ABD沿BD翻折得到△A′BD，A′D能否与⊙O相切？若能，请求出∠A的度数；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）延长AO交⊙O于E，连接BE，根据全等三角形的性质得到BE=CD，由AB为⊙O的切线，得到∠E=∠ABD，根据相似三角形的性质得到$\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AB}=\frac{BD}{BE}$，得到AE=$\frac{A{B}^{2}}{AD}$=18，根据勾股定理得到BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{13}$x，即可得到结论；
（2）假设A′D与⊙O相切，得到∠A′DO=90°，∠A′DC+∠ODC=∠A′DO=90°，由于∠BDO+∠ODC=∠BDC=90°，推出∠A′DC=∠BDO，已知OD=OB，根据折叠的性质得到∠ADB=∠A′DB，求得∠DOB=90°，由于∠DOB是Rt△ABD的外角，于是得到∠DOB不可能等于90°，即可得到结论．

解答 解：（1）如图1，延长AO交⊙O于E，连接BE，
在△CDO与△BEO中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OE}\\{∠COD=∠BOE}\\{OC=OB}\end{array}\right.$，
∴△CDO≌△BEO，
∴BE=CD，
∵AB为⊙O的切线，
∴∠E=∠ABD，
∵∠A=∠A，
∴△ABE∽△ADB，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AB}=\frac{BD}{BE}$，
∴AE=$\frac{A{B}^{2}}{AD}$=18，
∴DE=BC=10，$\frac{BD}{BE}=\frac{BD}{CD}=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{3}$，
设BD=2x，CD=3x，
∴BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{13}$x，
∴x=$\frac{10\sqrt{13}}{13}$；
∴CD=$\frac{30\sqrt{13}}{13}$；

（2）如图2，假设A′D与⊙O相切，
∴∠A′DO=90°，∠A′DC+∠ODC=∠A′DO=90°，
∵∠BDO+∠ODC=∠BDC=90°，
∴∠A′DC=∠BDO，
∵OD=OB，
∴∠OBD=∠BDO，
∵△A′BD由△ABD折叠，
∴∠ADB=∠A′DB，
设∠A′DC=∠BDO=x，
∴∠ADB=180°-∠BDO=180°-x，
∵∠A′DB=∠BDC+∠A′DC=90°+x，
∴180°-x=90°+x，
∴x=45°，
∵∠OBD=∠ODB=x=45°，
∴∠DOB=90°，
∵∠DOB是Rt△ABD的外角，
∴∠DOB不可能等于90°，
∴A′D不能⊙O相切．

点评 本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．