Question

8．已知关于x的一元二次方程x²+2x-a=0有两个不相等的实数根．
（1）试确定a的取值范围；
（2）若a的最小值为b，且x=1-$\sqrt{3}$-b，求代数式（7+4$\sqrt{3}$）x²+（2+$\sqrt{3}$）x+$\sqrt{3}$的值．

Answer 1

分析 （1）由方程有两个不相等的实数根可得出△＞0，套入数据即可得出关于a的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
（2）结合（1）的结论确定b的值，将其带入x=1-$\sqrt{3}$-b中得出x的值，再将x的值带入到代数式中利用整式运算的运算法则即可得出结论．

解答 解：（1）由已知得：△=b²-4ac=2²+4a＞0，
解得：a＞-1．
（2）∵a的最小值为b，
∴b=-1．
∴x=1-$\sqrt{3}$-b=1-$\sqrt{3}$-（-1）=2-$\sqrt{3}$，
∴（7+4$\sqrt{3}$）x²+（2+$\sqrt{3}$）x+$\sqrt{3}$，
=（7+4$\sqrt{3}$）（2-$\sqrt{3}$）²+（2+$\sqrt{3}$）（2-$\sqrt{3}$）+$\sqrt{3}$，
=49-48+4-3+$\sqrt{3}$，
=2+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了根的判别式、解一元一次不等式以及整式的运算，结题的关键是：（1）得出关于a的一元一次不等式；（2）得出x的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数利用根的判别式得出一元一次方程（或不等式）是关键．