Question

19．如图所示，有一座拱桥圆弧形，它的跨度AB为60米，拱高PM为18米，当洪水泛滥到跨度只有30米时，就要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PN=4米时，是否采取紧急措施？（$\sqrt{2}$=1.414）

Answer 1

分析 由垂径定理可知AM=BM、A′N=B′N，利用AB=60，PM=18，可先求得圆弧所在圆的半径，再计算当PN=4时A′B′的长度，与30米进行比较大小即可．

解答 解：
设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，设半径为x米，
则OA=OA′=OP′，
由垂径定理可知AM=BM，A′N=B′N，
∵AB=60米，
∴AM=30米，且OM=OP-PM=（x-18）米，
在Rt△AOM中，由勾股定理可得AO²=OM²+AM²，
即x²=（x-18）²+30²，解得x=34，
∴ON=OP-PN=34-4=30（米），
在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N=$\sqrt{O{A}^{′2}-O{N}^{2}}$=$\sqrt{3{4}^{2}-3{0}^{2}}$=16（米），
∴A′B′=32米＞30米，
∴不需要采取紧急措施．

点评 本题主要考查垂径定理的应用，利用勾股定理求得圆弧所在的半径是解题的关键，注意方程思想的应用．