Question

4．在化简二次根式时，我们有时会碰上如$\frac{5}{\sqrt{3}}$，$\sqrt{\frac{2}{3}}$，$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
$\frac{5}{\sqrt{3}}$=$\frac{5×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}$=$\frac{5}{3}$$\sqrt{3}$；（一）
$\sqrt{\frac{2}{3}}$=$\sqrt{\frac{2×3}{3×3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$（二）
$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{2×（\sqrt{3}-1）}{（\sqrt{3}+1）（\sqrt{3}-1）}$=$\frac{2（\sqrt{3}-1）}{（\sqrt{3}）^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$-1（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$还可以用以下方法化简：
$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{3-1}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{（\sqrt{3}）^{2}-{1}^{2}}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{（\sqrt{3}+1）（\sqrt{3}-1）}{\sqrt{3}+1}$=$\sqrt{3}$-1（四）
（1）参照阅读材料化简$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
（2）参照阅读材料化简$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$=$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$
（3）化简：$\frac{1}{\sqrt{3}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}}$（n≥1，且n为整数）．（直接写出结果即可）

Answer 1

分析 （1）原式根据阅读材料中的方法化简即可；
（2）原式根据阅读材料中的方法化简即可；
（3）原式各项根据阅读材料中的方法化简即可．

解答 解：（1）原式=$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
（2）原式=$\frac{2（\sqrt{5}-\sqrt{3}）}{（\sqrt{5}+\sqrt{3}）（\sqrt{5}-\sqrt{3}）}$=$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$；
（3）原式=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-1+$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$+$\sqrt{7}$-$\sqrt{5}$+…+$\sqrt{2n+1}$-$\sqrt{2n-1}$）=$\frac{\sqrt{2n+1}-1}{2}$．
故答案为：（1）$\frac{\sqrt{5}}{5}$；（2）$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$

点评 此题考查了分母有理化，弄清材料中的分母有理化方法是解本题的关键．