题目内容
如图1，点A是反比例函数y1=
（x＞0）图象上的任意一点，过点A作AB∥x轴，交另一个反比例函数y2=
（k＜0，x＜0）的图象于点B．
（1）若S△AOB=3，则k= ；
（2）当k=-8时：
①若点A的横坐标是1，求∠AOB的度数；
②将①中的∠AOB绕着点O旋转一定的角度，使∠AOB的两边分别交反比例函数y1、y2的图象于点M、N，如图2所示．在旋转的过程中，∠OMN的度数是否变化？并说明理由．
| 2 |
| x |
| k |
| x |
（1）若S△AOB=3，则k=
（2）当k=-8时：
①若点A的横坐标是1，求∠AOB的度数；
②将①中的∠AOB绕着点O旋转一定的角度，使∠AOB的两边分别交反比例函数y1、y2的图象于点M、N，如图2所示．在旋转的过程中，∠OMN的度数是否变化？并说明理由．
考点：反比例函数综合题
专题：
分析：（1）首先设AB交y轴于C，由反比例函数的性质，可得S△AOC=
×2=1，S△BOC=
|k|，又由S△AOB=3，则可得1+
|k|=3，继而求得答案；
（2）①由题意知，A（1，2），B（-4，2），则可求得AB，OA，OB的长，由勾股定理的逆定理，即可证得△AOB是直角三角形；
②首先作MF⊥x轴于F，NE⊥x轴于E，设M（a，
），N（b，-
），则MF=
，OF=a，OE=-b，NE=-
，易证得Rt△ONE∽Rt△MOF，然后由相似三角形的对应边成比例，求得ON：OM的值，即可求得答案．
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（2）①由题意知，A（1，2），B（-4，2），则可求得AB，OA，OB的长，由勾股定理的逆定理，即可证得△AOB是直角三角形；
②首先作MF⊥x轴于F，NE⊥x轴于E，设M（a，
| 2 |
| a |
| 8 |
| b |
| 2 |
| a |
| 8 |
| b |
解答：
解：（1）设AB交y轴于C，如图1，
∵AB∥x轴，
∴S△AOC=
×2=1，S△BOC=
|k|，
∵S△AOB=3，
∴1+
|k|=3，解得k=4或-4，
而k＜0，
∴k=-4；
故答案为：-4；
（2）①方法一：由题意知，A（1，2），B（-4，2），
∴AB=5，OA=
，OB=2
，
∴OA2+OB2=AB2，
∴∠AOB=90°，
方法二：由题意知，A（1，2），B（-4，2），
设AB与y轴相交于点C，则OC=2，AC=1，BC=4，
∴
=
，
∵∠OCB=∠OCA=90°，
∴△OBC∽△AOC，
∴∠OBC=∠COA，
∵∠OBC+∠BOC=90°，
∴∠AOB=90°；
②不变化．理由如下：
作MF⊥x轴于F，NE⊥x轴于E，如图2，
设M（a，
），N（b，-
），则MF=
，OF=a，OE=-b，NE=-
，
∵∠AOB绕着点O旋转一定的角度，使∠AOB的两边分别交反比例函数y1、y2的图象于点M、N，
∴∠MON=90°，
∴∠NOE+∠MOF=90°，
而∠NOE+∠ONE=90°，
∴∠ONE=∠MOF，
∴Rt△ONE∽Rt△MOF，
∴
=
=
，
即
=
=
，
∴a2b2=16，
∵ab＜0，
∴ab=-4，
∴
=
=
=2，
在Rt△OMN中，tan∠NMO=
=2，
∴在旋转的过程中，∠OMN的度数不变化．
解：（1）设AB交y轴于C，如图1，∵AB∥x轴，
∴S△AOC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∵S△AOB=3，
∴1+
| 1 |
| 2 |
而k＜0，
∴k=-4；
故答案为：-4；
（2）①方法一：由题意知，A（1，2），B（-4，2），
∴AB=5，OA=
| 5 |
| 5 |
∴OA2+OB2=AB2，
∴∠AOB=90°，
方法二：由题意知，A（1，2），B（-4，2），
设AB与y轴相交于点C，则OC=2，AC=1，BC=4，
∴
| OA |
| OC |
| OC |
| BC |
∵∠OCB=∠OCA=90°，
∴△OBC∽△AOC，
∴∠OBC=∠COA，
∵∠OBC+∠BOC=90°，
∴∠AOB=90°；
②不变化．理由如下：
作MF⊥x轴于F，NE⊥x轴于E，如图2，
设M（a，
| 2 |
| a |
| 8 |
| b |
| 2 |
| a |
| 8 |
| b |
∵∠AOB绕着点O旋转一定的角度，使∠AOB的两边分别交反比例函数y1、y2的图象于点M、N，
∴∠MON=90°，
∴∠NOE+∠MOF=90°，
而∠NOE+∠ONE=90°，
∴∠ONE=∠MOF，
∴Rt△ONE∽Rt△MOF，
∴
| NE |
| OF |
| OE |
| MF |
| ON |
| OM |
即
-
| ||
| a |
| -b | ||
|
| ON |
| OM |
∴a2b2=16，
∵ab＜0，
∴ab=-4，
∴
| ON |
| OM |
| -ab |
| 2 |
| 4 |
| 2 |
在Rt△OMN中，tan∠NMO=
| ON |
| OM |
∴在旋转的过程中，∠OMN的度数不变化．
点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的比例系数的几何意义和平行四边形的性质；会利用相似比进行计算．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
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