题目内容
已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，以AB为直径作⊙O，BC交⊙O于点D，E是边AC的中点，ED、AB的延长线相交于点F．求证：
（1）DE为⊙O的切线．
（2）AB•DF=AC•BF．
考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质
专题：
分析：（1）连接OD、AD，求出CDA=∠BDA=90°，点E为AC中点，求出∠1=∠4，∠2=∠3，推出∠4+∠3=∠1+∠2=90°，根据切线的判定即可；
（2）证△ABD∽△CAD，推出
=
，再证△FAD∽△FDB，推出
=
，得
=
，即可得出AB•DF=AC•BF．
（2）证△ABD∽△CAD，推出
| AB |
| AC |
| BD |
| AD |
| BD |
| AD |
| BF |
| DF |
| AB |
| AC |
| BF |
| DF |
解答：
证明：（1）如图，连接OD、AD．
∵OD=OA，
∴∠2=∠3，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BDA=90°，
∴∠CDA=90°．
又∵E是边AC的中点，
∴DE=AE=
AC，
∴∠1=∠4，
∴∠4+∠3=∠1+∠2=90°，即°．
又∵AB是⊙O的直径，
∴DE为⊙O的切线；
（2）如图，∵AB⊥AC，AD⊥BC，
∴∠3=∠C（同角的余角相等）．
又∵∠ADB=∠CDA=90°，
∴△ABD∽△CAD，
∴
=
．
易证△FAD∽△FDB，
∴
=
，
∴
=
，
∴AB•DF=AC•BF．
证明：（1）如图，连接OD、AD．∵OD=OA，
∴∠2=∠3，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BDA=90°，
∴∠CDA=90°．
又∵E是边AC的中点，
∴DE=AE=
| 1 |
| 2 |
∴∠1=∠4，
∴∠4+∠3=∠1+∠2=90°，即°．
又∵AB是⊙O的直径，
∴DE为⊙O的切线；
（2）如图，∵AB⊥AC，AD⊥BC，
∴∠3=∠C（同角的余角相等）．
又∵∠ADB=∠CDA=90°，
∴△ABD∽△CAD，
∴
| AB |
| AC |
| BD |
| AD |
易证△FAD∽△FDB，
∴
| BD |
| AD |
| BF |
| DF |
∴
| AB |
| AC |
| BF |
| DF |
∴AB•DF=AC•BF．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
练习册系列答案
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函数y=x2+bx+c与y=kx的图象如图，有以下结论：①b2-4c＞0；②b+c+1=0；③2b+c＜-2；④当1＜x＜3时，x2+（b-k）x+c＜0．
其中正确的是（ ）
| A、①④ | B、②③ | C、③④ | D、①② |
在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=
，AB=5，则边AC的长是（ ）
| 3 |
| 4 |
| A、3 | ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
| D、4 |
四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．