Question

17．（1）如图1，△ABC中，AB=AC，P为BC上任一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，BM⊥AC于M．求证：PE+PF=BM．
（2）应用：如图2所示，已知菱形ABCD的对角线的交点为O，AC=2，∠BAD=60°，BD边上有2016个不同的点P₁，P₂，P₃，…P₂₀₁₆，过点P_i（i=1，2，3，…2016）作P_iE_i⊥AB于E_i，P_iF_i⊥AC于F_i．计算P₁E₁+P₁F₁+P₂E₂+P₂F₂+…+P₂₀₁₆E₂₀₁₆+P₂₀₁₆F₂₀₁₆的值．

Answer 1

分析 （1）连接AP，可分别表示出△ABC、△ABP、△ACP的面积，根据面积相等可证得结论；
（2）连接AP₁，根据菱形性质得出AB=AD，AO=OC=$\frac{1}{2}$AC=1，AC⊥BD，得出等边三角形ABD，推出AD=AB=BD，根据三角形面积公式求出P₁E₁+P₁F₁=P₂E₂+P₂F₂=P₃E₃+P₃F₃=P₄E₄+P₄F₄=…=AO=1，求出即可．

解答 （1）证明：连结AP，
∵PE⊥AB  PF⊥AC  BM⊥AC
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}$AB×PE，S_△ACP=$\frac{1}{2}$AC×PF
S△ABC=$\frac{1}{2}$AC×BM，
∵S_△ABP+S_△ACP=S_△ABC
∴$\frac{1}{2}$AB×PE+$\frac{1}{2}$AC×PF=$\frac{1}{2}$AC×BM，
∵AB=AC
∴PE+PF=BM；
（2）解：连接P₁A，设AC与BD相交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AO=OC=AC=$\frac{1}{2}$×2=1，AC⊥BD，
∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=BD=AD，
∵S_△ABD=S△ABP1+S△ADP1，
∴$\frac{1}{2}$×BD×AO=$\frac{1}{2}$AB×P₁E₁+$\frac{1}{2}$×AD×P₁F₁，
∴P₁E₁+P₁F₁=AO=1，
同理P₂E₂+P₂F₂=P₃E₃+P₃F₃=P₄E₄+P₄F₄=…=AO=1，
∴P₁E₁+P₁F₁+P₂E₂+P₂F₂+…P₂₀₁₆E₂₀₁₆+P₂₀₁₆F₂₀₁₆的值为2016×1=2016．

点评 （1）本题主要考查等边三角形的性质及等积法，利用等积法得到AB•PE+AC•PF=AC•BM是解题的关键．
（2）本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，关键是求出P₁E₁+P₁F₁=P₂E₂+P₂F₂=P₃E₃+P₃F₃=P₄E₄+P₄F₄=…=AO=1．