Question

如图，AB是⊙O的直径，经过圆上点D的直线CD恰使∠ADC=∠B．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）过点A作直线AB的垂线交BD的延长线于点E，且AB=

5

，BD=2，求△ABE的面积．

Answer 1

考点：切线的判定,勾股定理

专题：计算题

分析：（1）连接OD，由OD=OB，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换后利用等式的性质得到∠ADB=∠CDO，利用直径所对的圆周角为直角得到∠ADB为直角，进而确定出∠CDO为直角，即可得证；
（2）利用一对公共角相等，且一对直角相等，得到三角形ABD与三角形ABE相似，由相似得比例，求出EB的长，在直角三角形ABE中，利用勾股定理求出AE的长，即可求出三角形ABE面积．

解答：解：（1）连接OD，
∵OD=OB，
∴∠B=∠ODB，
∵∠ADC=∠B，
∴∠ODB=∠ADC，
∴∠ODB+∠ADO=∠ADC+∠ADO，即∠ADB=∠CDO，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠CDO=90°，
∴CD切⊙O于点D；
（2）在Rt△ADB和Rt△EAB中，
∠B=∠B，∠ADB=∠EAB=90°，
∴Rt△ADB∽Rt△EAB，
∴

AB

EB

=

DB

AB

，即EB=

AB2

BD

=

5

2

，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得：AE=

BE2-AB2

=

5

2

，
∴S_△ABE=

1

2

AB•AE=

5

4

．

点评：此题考查了切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．