Question

以点P（n，n²+2n+1）（n≥1）为顶点的抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B的左边）．
（1）当n=1时，试求b和c的值；当n＞1时，求b与n，c与n之间的关系式．
（2）若点P到AB的距离等于线段AB长的10倍，求此抛物线y=-x²+bx+c的解析式．
（3）设抛物线y=-x²+bx+c与y轴交于点D，O为原点，矩形OEFD的顶点E、F分别在x轴和该抛物线上，当矩形OEFD的面积为42时，求点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）当n=1时，可求出P的坐标，由此可设抛物线的解析式为y=-（x-1）²+4，化为一般式左右对照即可求出b和c的值；当n＞1时思路雷同；
（2）根据抛物线的解析式可求出A和B的坐标，又点P到x轴的距离为n²+2n+1，所以有n²+2n+1=10（2n+2），解方程求出n的值，进而可求出抛物线解析式；
（3）根据已知条件可求出OD，DF的长，再根据矩形的面积公式可得：OD•DF=2n（2n+1）=42，求出n的值，即可求出P的坐标．

解答：解：（1）当n=1时，点P坐标为（1，4），则y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3=-x²+bx+c，
解得：b=2，c=3．
当n＞1时，则y=-（x-n）²+n²+2n+1=-x²+2nx+2n+1=-x²+bx+c，
所以b=2n，c=2n+1．
（2）∵y=-（x-n）²+n²+2n+1=-x²+2nx+2n+1，
∴当y=0时，即-x²+2nx+2n+1=0．解得x₁=-1，x₂=2n+1．
由于点A在点B的左边，
∴A（-1，0）、B（2n+1，0），即AB=2n+1-（-1）=2n+2．
又∵点P到x轴的距离为n²+2n+1，
∴有n²+2n+1=10（2n+2）．
解得n=19或n=-1（不合，舍去），
即n=19．
故，此时抛物线的解析式为y=-x²+38x+39．
（3）如图所示，
∵c=2n+1，
∴D（0，2n+1），
即OD=2n+1．又DF∥x轴，且D、F关于直线x=n对称，
∴F（2n，2n+1）．有DF=2n．
从而OD•DF=2n（2n+1）=42，
解得n=3或n=-

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（不合，舍去），即n=3．
故点P的坐标为（3，16）．

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、矩形的性质等知识点，综合性强，用到了数形结合的数学思想方法，其中第（3）中求出OD，OF的长解题是解题关键．