Question

12．在?ABCD中，过点D作对DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF=AE，连结AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形．
（2）若CF=6，BF=8，DF=10，求证：AF是∠DAB的角平分线．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质和已知条件得出BE=DF，证明四边形BFDE为平行四边形，再由DE⊥AB，即可得出结论；
（2）由矩形的性质和勾股定理求出BC，得出AD=BC=DF，证出∠DAF=∠DFA，再由平行线的性质即可得出结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵CF=AE，
∴BE=DF．
∴四边形BFDE为平行四边形． 
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°．
∴四边形BFDE是矩形．
（2）证明：由（1）得，四边形BFDE是矩形，
∴∠BFD=90°．
∴∠BFC=90°，
在Rt△BFC中，由勾股定理得：BC=$\sqrt{C{F}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10．
∴AD=BC=10．
∵DF=10，
∴AD=DF．
∴∠DAF=∠DFA．
∵AB∥CD，
∴∠DFA=∠FAB．
∴∠DAF=∠FAB．
∴AF平分∠DAB．
即AF是∠DAB的平分线．

点评 本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形BFDE是矩形是解决问题的关键．