Question

3．如图1是由边长为1的小正方形组成的网格，点A、B、C、D都在网格的格点上，AC、BD相交于点O．

（一）探索发现
（1）如图1，当AB=2时，连接AD，则∠ADO=90°，BO=2DO，AD=$\sqrt{2}$，BO=$\frac{2}{3}$ $\sqrt{2}$，tan∠AOD=3．
如图2，当AB=3时，画AH⊥BD交BD的延长线于H，则AH=$\frac{3}{2}$ $\sqrt{2}$，
BO=$\frac{3}{4}$$\sqrt{2}$，tan∠AOD=2．
如图3，当AB=4时，tan∠AOD=$\frac{5}{3}$．
（2）猜想：当AB=n （n＞0）时，tan∠AOD=$\frac{n+1}{n-1}$．（结果用含n的代数式表示），请证明你的猜想．
（二）解决问题
（3）如图，两个正方形的一边CD、CG在同一直线上，连接CF、DE相交于点O，若tan∠COE=$\frac{17}{13}$，求正方形ABCD和正方形CEFG的边长之比．

Answer 1

分析 （1）设四边形DCBE为正方形，连接CE，交BD于F，先由正方形的性质得出CF=DF=BF，BD⊥CE，再由AB∥DC，得△AOB∽△COD，根据相似三角形的对应边成比例得DO：BO=CD：AB，即可得OF：CF的值，然后在Rt△OCF中，求得tan∠COF的值，即为tan∠AOD的值；根据S_△ABD=$\frac{1}{2}$BD•AH=$\frac{1}{2}$AB•ED，即可求出AH；
（2）当AB=n（n＞0）时，tan∠AOD=$\frac{n+1}{n-1}$，同（1）证明即可；
（3）设正方形ABCD与正方形CEFG的边长之比为k，由（2）的结论得到$\frac{n+1}{n-1}$=$\frac{17}{13}$，解方程即可．

解答 解：（一）探索发现
（1）如图1，当AB=2时，∵BO=2DO，BO=$\frac{2}{3}$ $\sqrt{2}$，
∴OD=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
又∵∠ADO=90°，AD=$\sqrt{2}$，
∴tan∠AOD=$\frac{AD}{OD}$=$\frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{3}}$=3，
即tan∠AOD=3．
如图2，设DCBE为正方形，连接CE，交BD于F．
∵四边形BCDE是正方形，
∴DF=CF=BF=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$CE，BD⊥CE．
根据题意得：AB∥DC，
∴△AOB∽△COD，
∴DO：BO=CD：AB．
当AB=3时，DO：BO=1：3，
∴BO=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
∵S_△ABD=$\frac{1}{2}$BD•AH=$\frac{1}{2}$AB•ED，
∴BD•AH=AB•ED，
∴AH=$\frac{AB•ED}{BD}$=$\frac{3×1}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
DO：BO=CD：AB=1：3，
∴DO：DF=1：2，
∴OF：DF=1：2，即OF：CF=1：2．
在Rt△OCF中，tan∠COF=$\frac{CF}{OF}$=2，
∵∠AOD=∠COF，
∴tan∠AOD=2；
如图3，当AB=4时，DO：BO=CD：AB=1：4，
∴DO：DF=1：2.5=2：5，
∴OF：DF=3：5，即OF：CF=3：5．
在Rt△OCF中，tan∠COF=$\frac{CF}{OF}$=$\frac{5}{3}$，
∵∠AOD=∠COF，
∴tan∠AOD=$\frac{5}{3}$；
故答案是：3；$\frac{3}{4}$$\sqrt{2}$；2；$\frac{5}{3}$；

（2）猜想：当AB=n（n＞0）时，tan∠AOD=$\frac{n+1}{n-1}$（结果用含n的代数式表示）．
证明：过点A作AH⊥BH于点H，则AH=BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$n．
∵AB∥OD，
∴△AOB∽△COD，
∴$\frac{OB}{OD}$=$\frac{AB}{CD}$=$\frac{n}{1}$，
∴OB=$\frac{\sqrt{2}n}{n+1}$．
∴OH=BH-OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$n-$\frac{\sqrt{2}n}{n+1}$．
∴tan∠AOD=$\frac{AH}{HD}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}n}{\frac{\sqrt{2}}{2}n-\frac{\sqrt{2}n}{n+1}}$=$\frac{n+1}{n-1}$；
故答案是：$\frac{n+1}{n-1}$；

（二）解决问题
（3）解：如图4，过点D作DH⊥CF于点H，则tan∠DOH=$\frac{DH}{HO}$．
∵∠DOH=∠COE，
∴tan∠DOH=$\frac{17}{13}$，
又由（一）结论得：$\frac{n+1}{n-1}$=$\frac{17}{13}$，
∴n=$\frac{15}{2}$
∴正方形ABCD和正方形CEFG的边长之比为 $\frac{15}{2}$．

点评 此题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，三角函数的定义，三角形的面积．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．