Question

7．如图，△ABC是边长为$\sqrt{3}$的等边三角形，点P．Q分别是射线AB、BC上两个动点，且AP=CQ，PQ交AC与D，作PE丄AC于E，那么DE的长度为$\frac{1}{2}$$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 过P作PF∥BC交AC于F，推出△APF是等边三角形，推出AP=PF=CQ，求出∠FPD=∠Q，根据AAS证△FPD≌△CQD，推出FD=DC，根据等腰三角形性质得出AE=EF，求出DE=FE+DF=$\frac{1}{2}$AC，代入求出即可．

解答 解：过P作PF∥BC交AC于F，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠B=∠A=60°，
∵PF∥BC，
∴∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，
∴∠APF=∠AFP=∠A=60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AP=PF，
∵AP=CQ，
∴PF=CQ，
∵PF∥BC，
∴∠FPD=∠Q，
在△FPD和△CQD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠FPD=∠Q}\\{∠FDP=∠CDQ}\\{PF=CQ}\end{array}\right.$，
∴△FPD≌△CQD（AAS），
∴FD=DC，
∵AP=PF，PE⊥AF，
∴AE=EF，
∴DE=FE+DF=CD+AE=$\frac{1}{2}$AC，
∵AC=$\sqrt{3}$，
∴DE=$\frac{1}{2}$$\sqrt{3}$，
故答案为$\frac{1}{2}$$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识点的综合运用．