Question

5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点M在AC边上，且AM=2，MC=6，动点P在AB边上，连接PC，PM，则PC+PM的最小值是2$\sqrt{17}$．

Answer 1

分析 根据平面内线段最短，构建直角三角形，解直角三角形即可．

解答 解：如图，过点作CO⊥AB于O，延长BO到C'，使OC'=OC，连接MC'，交AB于P，
此时PC'=PM+PC'=PM+PC的值最小，
连接AC'，
∵CO⊥AB，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠ACO=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
∵CO=OC'，CO⊥AB，
∴AC'=CA=AM+MC=8，
∴∠OC'A=∠OCA=45°，
∴∠C'AC=90°，
∴C'A⊥AC，
∴MC′=$\sqrt{A{M}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{8}^{2}}$=2$\sqrt{17}$，
∴PC+PM的最小值为2$\sqrt{17}$．
故答案为：2$\sqrt{17}$．

点评 本题考查了线路最短的问题，确定动点P为何位置时，使PC+PM的值最小是关键．