Question

6．如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=4，∠B=60°，点E是边AB上的一点，点F是边CD上一点，将平行四边形ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGH，点A的对应点为点C，点D的对应点为点G．则△CEF的面积$\frac{7\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 根据平行四边形的性质和折叠的性质得出∠B=∠G，∠BCE=∠GCF，BC=GC，然后根据AAS证明△BCE≌△GCF，得出CE=CF，过E点作EP⊥BC于P，设BP=m，则BE=2m，通过解直角三角形求得EP=$\sqrt{3}$m，然后根据折叠的性质和勾股定理求得EC，进而根据三角形的面积即可得出结果．

解答 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠D=∠B，∠A=∠BCD，
由折叠可知，AD=CG，∠D=∠G，∠A=∠ECG，
∴BC=GC，∠B=∠G，∠BCD=∠ECG，
∴∠BCE=∠GCF，
在△BCE和△GCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠G}&{\;}\\{∠BCE=∠GCF}&{\;}\\{BC=GC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△GCF（ASA），
∴CE=CF，
过E点作EP⊥BC于P，如图所示：
∵∠B=60°，∠EPB=90°，
∴∠BEP=30°，
∴BE=2BP，
设BP=m，则BE=2m，
∴EP=BE•sin60°=2m×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$m，
由折叠可知，AE=CE，
∵AB=6，
∴AE=CE=6-2m，
∵BC=4，
∴PC=4-m，
在RT△ECP中，由勾股定理得（4-m）²+（$\sqrt{3}$m）²=（6-2m）²，
解得：m=$\frac{5}{4}$，
∴CE=6-2m=6-2×$\frac{5}{4}$=$\frac{7}{2}$，
∵△BCE≌△GCF，
∴CF=CE=$\frac{7}{2}$，
∴S_△CEF=$\frac{1}{2}$×$\frac{7}{2}$×2$\sqrt{3}$=$\frac{7\sqrt{3}}{2}$；
故答案为：$\frac{7\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，解直角三角形，平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理的应用，三角形面积等，熟练掌握平行四边形的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．