问题情境:在Rt△ABC中.AB=BC.∠B=90°.将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上.将三角板绕点O旋转．(1)操作发现:当点O为AC中点时:①如图1.三角板的两直角边分别交AB.BC于E.F两点.连接EF.猜想线段AE.CF与EF之间存在的等量关系:AE2+CF2=EF2,②如图2.三角板的两直角边分别交AB.BC延长线于E.F两点.连接EF.判断①� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．问题情境：

在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上，将三角板绕点O旋转．
（1）操作发现：
当点O为AC中点时：
①如图1，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，连接EF，猜想线段AE、CF与EF之间存在的等量关系：AE²+CF²=EF²（无需证明）；
②如图2，三角板的两直角边分别交AB，BC延长线于E、F两点，连接EF，判断①中的结论是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（2）类比延伸：
当点O不是AC中点时，如图3，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，若$\frac{AO}{AC}$=$\frac{1}{5}$，请直接写出$\frac{OE}{OF}$=$\frac{1}{4}$．

分析（1）①猜想：AE²+CF²=EF²，连接OB，证△OEB≌△OFC，推出BE=CF即可；
②成立．连结OB，求出OB=$\frac{1}{2}$AC=OC，∠BOC=90°，∠EOB=∠FOC，∠EBO=∠FCO，证△OEB≌△OFC，推出BE=CF，在Rt△EBF中，由勾股定理得出BF²+BE²=EF²，即可得出答案；
（2）过点O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，证△OME∽△ONF，推出$\frac{OM}{ON}$=$\frac{OE}{OF}$，证△AOM∽△OCN，得出比例式，即可得出答案．

解答解：（1）①猜想：AE²+CF²=EF²，
连接OB，如图1，
∵AB=BC，∠ABC=90°，O点为AC的中点，
∴OB=$\frac{1}{2}$AC=OC，∠BOC=90°，∠ABO=∠BCO=45°．
∵∠EOF=90°，
∴∠EOB+∠BOF=∠FOC+∠BOF．
∴∠EOB=∠FOC，
在△OEB和△OFC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EOB=∠FOC}\\{OB=OC}\\{∠EBO=∠OCF}\end{array}\right.$，
∴△OEB≌△OFC（ASA）．
∴BE=CF，
又∵BA=BC，
∴AE=BF．
在Rt△EBF中，∵∠EBF=90°，
∴BF²+BE²=EF²，
∴AE²+CF²=EF²；
故答案为：AE²+CF²=EF²；

②成立．
证明：连结OB．如图2，
∵AB=BC，∠ABC=90°，O点为AC的中点，
∴OB=$\frac{1}{2}$AC=OC，∠BOC=90°，∠ABO=∠BCO=45°．
∵∠EOF=90°，
∴∠EOB=∠FOC．
在△OEB和△OFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EOB=∠FOC}\\{OB=OC}\\{∠EBO=∠OCF}\end{array}\right.$，
∴△OEB≌△OFC（ASA）．
∴BE=CF，
又∵BA=BC，
∴AE=BF．
在Rt△EBF中，∵∠EBF=90°，
∴BF²+BE²=EF²，
∴AE²+CF²=EF²；

（2）$\frac{OE}{OF}$=$\frac{1}{4}$，如图3，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N．
∵∠B=90°，
∴∠MON=90°，
∵∠EOF=90°，
∴∠EOM=∠FON．
∵∠EMO=∠FNO=90°，
∴△OME∽△ONF，
∴$\frac{OM}{ON}$=$\frac{OE}{OF}$，
∵△AOM和△OCN为等腰直角三角形，
∴△AOM∽△OCN，
∴$\frac{OM}{ON}$=$\frac{AO}{AC}$，
∵$\frac{AO}{AC}$=$\frac{1}{5}$，
∴$\frac{OE}{OF}$=$\frac{1}{4}$，
故答案为$\frac{1}{4}$．