Question

如图，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=6，将△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′的位置．若此时线段A′B′与BO的交点C是BO的中点，则线段B′C的长度为

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：

分析：如图，作辅助线；首先求出AB、cos∠A的值；然后证明cos∠A′=cos∠A，A′M=CM；求出A′M的值，即可解决问题．

解答：解：如图，过点O作OM⊥A′C；
∵∠AOB=90°，AO=3，BO=6，
∴AB=

32+62

=3

5

，cos∠A=

3

3 5

=

5

5

；
由题意得：∠A′=∠A，OA′=OA=3，A′B′=AB=3

5

；
∵点C为BC的中点，
∴OC=

1

2

OB=3，OC=OA′，而OM⊥A′C，
∴A′M=CM；
∵cos∠A′=cos∠A，且cos∠A′=

A′M

A′O

，
∴A′M=

3 5

5

，B′C=3

5

-2×

3 5

5

=

9 5

5

故答案为

9 5

5

．

点评：该题主要考查了旋转变换的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用旋转变换的性质、勾股定理等来分析、判断、解答．