Question

13．如图甲，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．

解答下列问题：
（1）当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图甲，线段CF、BD之间的位置关系为垂直，数量关系为相等．
（2）当点D在线段BC的延长线上时，如图乙，①中的结论是否仍然成立，为什么？

Answer 1

分析 （1）结论：垂直，相等．只要证明△BAD≌△CAF（SAS），推出CF=BD，推出∠B=∠ACF，推出∠B+∠BCA=90°，推出∠BCA+∠ACF=90°即可；
（2）结论不变．证明方法类似；

解答 解：（1）结论：垂直，相等．
理由∵四边形ADEF是正方形，
∴∠DAF=90°，AD=AF，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAF+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴CF=BD，
∴∠B=∠ACF，
∴∠B+∠BCA=90°，
∴∠BCA+∠ACF=90°，
即CF⊥BD；
故答案为：垂直，相等；

（2）当点D在BC的延长线上时①中的结论仍成立．
理由：∵四边形ADEF是正方形，
∴∠DAF=90°，AD=AF，
∴∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAF+∠DAC，
即∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴CF=BD，
∴∠B=∠ACF，
∵∠B+∠BCA=90°，
∴∠BCA+∠ACF=90°，
即CF⊥BD．

点评 此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质，正确寻找全等三角形的条件是解题的关键是，属于中考常考题型．