如图.已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A两点.与y轴交于点C.抛物线的对称轴与抛物线交于点P.与直线BC相交于点M.连接PB．(1)求该抛物线的解析式,中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D.使得△BCD的面积最大?若存在.求出D点坐标及△BCD面积的最大值,若不存在.请说明理由．中的抛物线上是否存在点Q.使得△QMB与△PMB的面积相等?若存在.直接写出满足条件的所有� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．

如图，已知抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD的面积最大？若存在，求出D点坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由．
（3）在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，直接写出满足条件的所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据待定系数法，可得答案；
（2）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）根据平行线的性质，可得P到BC与Q到BC的距离相等，可得QP的解析式，根据解方程组，可得答案．

解答解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{-1+b+c=0}\\{-9+3b+c=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
则抛物线的解析式为y=-x²+2x+3
（2）如图1，
设D（t，-t²+2t+3），过点D作DH⊥x轴，
则S_△BCD=S_梯形OCDH+S_△BDH-S_△BOC
=$\frac{1}{2}$（-t²+2t+3+3）t+$\frac{1}{2}$（3-t）（-t²+2t+3）-$\frac{1}{2}$×3×3
=-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{9}{2}$t，
∵-$\frac{3}{2}$＜0，
∴当t=-$\frac{\frac{9}{2}}{2×（-\frac{3}{2}）}$=$\frac{3}{2}$时，△BCD面积的最大值是$\frac{27}{8}$，
此时D点坐标是（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）；
（3）如图2，
在（1）中的抛物线上存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等，
设过点P与BC平行的直线与抛物线的交点为Q，
∵P点的坐标为（1，4），直线BC的解析式为y=-x+3，
∴过点P与BC平行的直线为y=-x+5，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+5}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$得Q的坐标为（2，3），
∵PM的解析式为x=1，直线BC的解析式为y=-x+3，
∴M的坐标为（1，2），
设PM与x轴交于点E，
∵PM=EM=2，
∴过点E与BC平行的直线为y=-x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3+\sqrt{17}}{2}}\\{y=-\frac{1+\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3-\sqrt{17}}{2}}\\{y=-\frac{1-\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$，
∴点Q的坐标为（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，-$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$），（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，-$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$）．
∴使得△QMB与△PMB的面积相等的点Q的坐标为（2，3），（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，-$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$），（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，-$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$）．