Question

2．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕EF分别与AB、DC交于点E和点F．
（1）证明：△ADF≌△AB′E；
（2）若AD=12，DC=18，求△AEF的面积．

Answer 1

分析 （1）根据折叠的性质以及矩形的性质，运用ASA即可判定△ADF≌△AB′E；
（2）先设FA=FC=x，则DF=DC-FC=18-x，根据Rt△ADF中，AD²+DF²=AF²，即可得出方程12²+（18-x）²=x²，解得x=13． 再根据AE=AF=13，即可得出S_△AEF=$\frac{1}{2}•AE•AD$=78．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠C=∠B′=90°，AD=CB=AB′，
∵∠DAF+∠EAF=90°，∠B′AE+∠EAF=90°，
∴∠DAF=∠B′AE，
在△ADF和△AB′E中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠B′}\\{AD=AB′}\\{∠DAF=∠B′AE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△AB′E（ASA）．

（2）由折叠性质得FA=FC，
设FA=FC=x，则DF=DC-FC=18-x，
在Rt△ADF中，AD²+DF²=AF²，
∴12²+（18-x）²=x²．
解得x=13． 
∵△ADF≌△AB′E（已证），
∴AE=AF=13，
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}•AE•AD$=$\frac{1}{2}×12×13$=78．

点评 本题属于折叠问题，主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及三角形面积的计算公式的运用，解决问题的关键是：设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．