Question

2．已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=AH，连接BG并延长交DE于F．
（1）求证：△BCG≌△DCE；
（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用正方形的性质得到BC=CD，∠BCD=90°，则可根据“SAS”证明△BCG≌△DCE；
（2）利用旋转的性质得CE=AE′，则CG=AE′，再根据正方形的性质得BE′∥DG，AB=CD，所以BE′=DG，然后根据平行四边形的判定方法可判断四边形E′BGD是平行四边形．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=90°，
∴∠BCG=∠DCE，
在△BCG和△DCE中
$\left\{\begin{array}{l}{CB=CD}\\{∠BCG=∠DCE}\\{CG=CE}\end{array}\right.$
∴△BCG≌△DCE；
（2）解：四边形E′BGD是平行四边形．理由如下：
∵△DCE绕D顺时针旋转90°得到△DAE′，
∴CE=AE′，
∵CE=CG，
∴CG=AE′，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BE′∥DG，AB=CD，
∴AB-AE′=CD-CG．
即BE′=DG，
∴四边形E′BGD是平行四边形．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质、平行四边形的判定．