在Rt△ABC中.∠ABC=90°.以A为坐标原点.AB所在直线为x轴.建立平面直角坐标.且C坐标(8.6).点P在AB上.AP=2.E.F同时从点P出发.分别沿PA.PB以每秒1个单位的速度向A.B匀速运动.点E到达A后立即以原速沿AB向B运动.点E再次返回点P停止.点F也随之停止运动.在点E.F运动过程中.以EF为边向上做正方形EFGH.设E.F运动的时间为t秒.正方形EFGH与� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标，且C坐标（8，6），点P在AB上，AP=2，E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位的速度向A、B匀速运动，点E到达A后立即以原速沿AB向B运动，点E再次返回点P停止，点F也随之停止运动，在点E、F运动过程中，以EF为边向上做正方形EFGH，设E、F运动的时间为t秒（t＞0），正方形EFGH与△ABC重叠面积为S．
（1）求直线AC的解析式；
（2）当AC经过点H时，求t的值；
（3）t为何值时，S最大，最大面积为多少？

分析（1）用待定系数法容易求出直线AC的解析式；
（2）分两种情况：①当0＜t＜2时；②当2＜t≤4时；根据EH=EF列出方程，解方程即可；
（3）根据题意得出：当E再次返回点P时，正方形EFGH与△ABC重叠面积S最大，此时t=4，S=△OFK的面积-△OPQ的面积-△KMN的面积，即可得出结果．

解答解：（1）设直线AC的解析式为y=kx，
把C（8，6）代入得：8k=6，
∴k=$\frac{3}{4}$，
∴直线AC的解析式为y=$\frac{3}{4}$x；
（2）如图所示：分两种情况：
①当0＜t＜2时，OE=2-t，HE=$\frac{3}{4}$（2-t），EF=2t，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EH=EF，
∴$\frac{3}{4}$（t-2）=2t，
解得：t=$\frac{6}{11}$；
②当2＜t≤4时，OE=t-2，PE=2-（t-2）=4-t，EF=4-t+t=4，
∴HE=$\frac{3}{4}$（t-2），
∴$\frac{3}{4}$（t-2）=4，
解得：t=$\frac{22}{3}$（不合题意，舍去）；
综上所述：当当AC经过点H时，t=$\frac{11}{6}$；
（3）如图2所示：根据题意得：当E再次返回点P时，正方形EFGH与△ABC重叠面积S最大，
此时t=4，PF=4，OF=6，OE=2，
当x=6时，y=$\frac{3}{4}$×6=$\frac{9}{2}$，
∴KM=$\frac{9}{2}$-4=$\frac{1}{2}$，
∴MN=$\frac{2}{3}$，PQ=$\frac{3}{2}$，
∴S=△OFK的面积-△OPQ的面积-△KMN的面积
=$\frac{1}{2}$×6×$\frac{9}{2}$-$\frac{1}{2}$×2×$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{71}{6}$；
即t=4时，S最大，最大面积是$\frac{71}{6}$．