Question

10．已知如图，在直角坐标系xOy中，点A，点B坐标分别为（-1，0），（0，$\sqrt{3}$），连结AB，OD由△AOB绕O点顺时针旋转60°而得．
（1）求点C的坐标；
（2）△AOB绕点O顺时针旋转60°所扫过的面积；
（3）线段AB绕点O顺时针旋转60°所扫过的面积．

Answer 1

分析 （1）如图1，过C作CE⊥OA于E，由点A，点B坐标分别为（-1，0），（0，$\sqrt{3}$），得到OA=1，OB=$\sqrt{3}$，根据旋转的性质得到∠AOC=∠BOD=60°，AO=OC=1，解直角三角形即可得到结论；
（2）根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论；
（3）根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论；

解答 解：（1）如图1，过C作CE⊥OA于E，
∵点A，点B坐标分别为（-1，0），（0，$\sqrt{3}$），
∴OA=1，OB=$\sqrt{3}$，
∵△AOB绕点O顺时针旋转60°得到△COD，
∴∠AOC=∠BOD=60°，AO=OC=1，
∴OE=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$，CE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴C（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；

（2）△AOB绕点O顺时针旋转60°所扫过的面积=$\frac{60π•{1}^{2}}{360}$+$\frac{60π•（\sqrt{3}）^{2}}{360}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}×\sqrt{3}$=$\frac{2}{3}$π+$\frac{\sqrt{3}}{4}$；

（3）如图2，线段AB绕点O顺时针旋转60°所扫过的面积═（$\frac{60π•{1}^{2}}{360}$-1×$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{1}{2}$）+（$\frac{3}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{1}{2}$-$\frac{60•π×（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}{360}$）+（$\frac{60•π×（\sqrt{3}）^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{3}{2}$）=$\frac{13}{24}$π+$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 此题考查了作图-旋转变换及扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解题的关键．