Question

20．如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且∠DBA=∠BCD．
（1）证明：BD是⊙O的切线．
（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且△BEF的面积为16，cos∠BFA=$\frac{2}{3}$，那么，你能求出△ACF的面积吗？若能，请你求出其面积；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）BD是⊙O的切线．先连接OB，由于AC是直径，那么∠ABC=90°，得到∠BAC+∠C=90°，由OA=OB，得到∠BAC=∠OBA，证明∠OBD=90°，根据切线的判定定理证明；
（2）由于cos∠BFA=$\frac{2}{3}$，那么$\frac{BF}{AF}$=$\frac{2}{3}$，证明△EBF∽△CAF，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．

解答 解：（1）BD是⊙O的切线，
理由：如右图所示，连接OB，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠BAC+∠C=90°，
∵OA=OB，
∴∠BAC=∠OBA，
∴∠OBA+∠C=90°，
∵∠ABD=∠C，
∴∠ABD+∠OBA=90°，即∠OBD=90°，
∴DB是⊙O的切线；
（2）在Rt△ABF中，
∵cos∠BFA=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{BF}{AF}$=$\frac{2}{3}$，
∵∠E=∠C，∠EBF=∠FAC，
∴△EBF∽△CAF，
∴S_△BFE：S_△AFC=（$\frac{BF}{AF}$）²=$\frac{4}{9}$，
∵△BEF的面积为16，
∴△ACF的面积为36．

点评 本题考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质、圆周角定理、余弦．解题的关键是连接OB，并证明△EBF∽△CAF．