Question

8．如图，△ABC中，∠B=90°，BC=5$\sqrt{3}$，∠C=30°．点D从C出发沿CA以2个单位/s的速度向终点A运动，同时点E从A出发沿AB以1个单位/s的速度向终点B运动，DF⊥BC于F．设点D、E运动的时间是ts．
（1）求证：AE=DF．
（2）连接EF，问：是否存在t，使四边形AEFD为菱形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
（3）连接DE、EF，当C为何值时，△DEF是直角三角形？为什么？

Answer 1

分析 （1）由“在直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半”求得DF=t，又AE=t，则DF=AE；
（2）而由垂直得到AB∥DF，即“四边形AEFD的对边平行且相等”，由此得四边形AEFD是平行四边形；
（3）①显然∠DFE＜90°；
②如图①′，当∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形，此时 AE=$\frac{1}{2}$AD，根据题意，列出关于t的方程，通过解方程来求t的值；
③如图①″，当∠DEF=90°时，此时∠ADE=90°-∠A=30°，此时AD=$\frac{1}{2}$AE，根据题意，列出关于t的方程，通过解方程来求t的值．

解答 （1）证明：如图①，
∵DF⊥BC，∠C=30°，
∴DF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$×2t=t．
∵AE=t，
∴DF=AE；

（2）解：存在t，使四边形AEFD为菱形，
理由是：∵在△ABC中，∠B=90°，BC=5$\sqrt{3}$，∠C=30°，
∴AB=$\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$=5，AC=2AB=10，
∵∠ABC=90°，DF⊥BC，
∴DF∥AE，
∵AE=DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴当AE=AD时，四边形AEFD是菱形，
∵AE=t，DC=2t，
∴AD=t，
t+2t=10，
∴t=$\frac{10}{3}$，
即存在t，使四边形AEFD为菱形，此时t=$\frac{10}{3}$；

（3）解：①显然∠DFE＜90°；
②如图①′，
当∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形，
此时 AE=$\frac{1}{2}$AD，
∴t=$\frac{1}{2}$（10-2t），
解得：t=$\frac{5}{2}$；
③如图①″，
当∠DEF=90°时，此时∠ADE=90°
∴∠AED=90°-∠A=30°
∴AD=$\frac{1}{2}$AE，
∴10-2t=$\frac{1}{2}$t，
解得：t=4，
综上：当t=$\frac{5}{2}$秒或4秒时，△DEF为直角三角形；

点评 本题考查了四边形综合题，解题时，需要综合运用直角三角形的性质，菱形的性质以及平行四边形的判定与性质，另外，解题时，需要分类讨论．