[问题原型]如图①.在Rt△ACB中.∠C=90°.以AB所在直线为对称轴.将△ACB翻折至△AC′B的位置.过点C′分别作BC的平行线交CA的延长线于点D.C′E∥CD交BC于点E.可得AD=EF．[探究推广]将图①中的直角三角形条件改为锐角三角形.且AC＜AB.如图②.以AB所在直线为对称轴.将△ACB翻折至△AC′B的位置.过点C′分别作BC的平行线交CA的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．【问题原型】如图①，在Rt△ACB中，∠C=90°，以AB所在直线为对称轴，将△ACB翻折至△AC′B的位置，过点C′分别作BC的平行线交CA的延长线于点D，C′E∥CD交BC于点E，可得AD=EF．
【探究推广】将图①中的直角三角形条件改为锐角三角形，且AC＜AB，如图②，以AB所在直线为对称轴，将△ACB翻折至△AC′B的位置，过点C′分别作BC的平行线交CA的延长线于点D，C′E∥CD交BC于点E，猜想AD与EF的数量关系，并说明理由．
【结论应用】在图②中，当AD=2，AC=3，S_△BEF=4时，利用探究的结论，求△ACB的面积．

分析【探究推广】根据C′D∥CE，C′E∥CD，得到四边形DCEC′是平行四边形，根据平行四边形的性质得到CD=EC′，根据折叠的性质得到AC=AC′，∠CAB=∠C′AB，根据平行线的性质得到∠CAF=∠AFC′，等量代换得到∠C′AF=∠C′FA，根据等腰三角形的判定定理得到AC′=C′F，于是得到结论；
【结论应用】：由【探究推广】知，AD=EF，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答解：【探究推广】：AD=EF，
理由：∵C′D∥CE，C′E∥CD，
∴四边形DCEC′是平行四边形，
∴CD=EC′，
∵将△ACB翻折至△AC′B的位置，
∴AC=AC′，∠CAB=∠C′AB，
∵CD∥C′E，
∴∠CAF=∠AFC′，
∴∠C′AF=∠C′FA，
∴AC′=C′F，
∴C′F=AC，
∴CD-AC=C′E-C′F，即AD=EF；
【结论应用】：由【探究推广】知，AD=EF，
∵AD=2，
∴EF=2，
∵EF∥AC，
∴△EFB∽△CBA，
∴$\frac{{S}_{△BEF}}{{S}_{△BCA}}$=（$\frac{EF}{AC}$）²=（$\frac{2}{3}$）²=$\frac{4}{9}$，
∵S_△BEF=4，
∴△ACB的面积=9．