Question

17．如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE=CF，BD=CE．
（1）求证：DE=EF；
（2）当∠A=44°时，求∠DEF的度数；
（3）当∠A等于多少度时，△DEF成为等边三角形？试证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据AB=AC可得∠B=∠C，即可求证△BDE≌△CEF，即可解题；
（2）根据全等三角形的性质，得出∠BED=∠CFE，再根据三角形内角和定理以及平角的定义，即可求得∠DEF的度数；
（3）根据△DEF为等边三角形，以及△BDE≌△CEF，可得∠C的度数，最后根据等腰三角形ABC，求得其顶角的度数．

解答 解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵在△BDE和△CEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CE}\\{∠B=∠C}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△CEF（SAS），
∴DE=EF；

（2）当∠A=44°时，∠B=∠C=$\frac{1}{2}$（180°-44°）=68°，
∵△BDE≌△CEF，
∴∠BED=∠CFE，
∵△CEF中，∠CEF+∠CFE=180°-68°=112°，
∴∠BED+∠CEF=112°，
∴∠DEF=180°-112°=68°；

（3）当∠A等于60度时，△DEF成为等边三角形．
证明：若△DEF为等边三角形，则∠DEF=60°，
∴∠BED+∠CEF=120°，
又∵△BDE≌△CEF，
∴∠BED=∠CFE，
∴△CEF中，∠CEF+∠CFE=120°，
∴∠C=180°-120°=60°=∠B，
∴△ABC中，∠A=180°-60°×2=60°．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是运用全等三角形的对应边相等，对应角相等进行计算推导，解题时注意三角形的内角和等于180°．