Question

5．如图，在7×7网格中，每个小正方形的边长都为1．
（1）建立适当的平面直角坐标系，使点A（3，4）、C（4，2），则点B的坐标为（0，0）；
（2）求图中格点△ABC的面积；
（3）判断格点△ABC的形状，并说明理由．
（4）在x轴上有一点P，使得PA+PC最小，则PA+PC的最小值是$\sqrt{17}$．

Answer 1

分析 （1）首先根据A和C的坐标确定坐标轴的位置，然后确定B的坐标；
（2）利用矩形的面积减去三个直角三角形的面积求解；
（3）利用勾股定理的逆定理即可作出判断；
（4）作点C关于x轴的对称点C′连接AC′交x轴与点P，连接PC，依据轴对称图形的性质可得到PC=PC′，然后依据两点之间线段最短可知当点A，P，C′在一条直线上时，AP+PC有最小值．

解答 解：（1）B的坐标是（0，0）．
故答案是（0，0）；
（2）S_△ABC=4×4-$\frac{1}{2}$×4×2-$\frac{1}{2}$×3×4-$\frac{1}{2}$×1×2=5，
（3）∵AC²=2²+12=5，BC²=2²+4²=20，AB²=4²+3²=25，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形．
（4）如图1所示：作点C关于x轴的对称点C′连接AC′交x轴与点P，连接PC．

∵点C与点C′关于x轴对称，
∴PC=PC′．
∴AP+PC=AP+PC．
∴当A，P，C′在一条直线上时，AP+PC有最小值，最小值为AC′的长．
∵AC′=$\sqrt{{4}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{17}$．
∴AP+PC的最小值为$\sqrt{17}$．
故答案为：$\sqrt{17}$．

点评 本题主要考查的是轴对称路径最短问题、勾股定理的应用，勾股定理的逆定理的应用，明确点A，P，C′在一条直线上时，AP+PC有最小值是解题的关键．