Question

15．如图，D是∠MAN内部一点，点B是射线AM上一点，DE⊥AM于E，DF⊥AN于F，且DE=DF，连接AD．
（1）求证：AD平分∠MAN；（可不用全等）   
（2）在射线AN上取一点C，使得DC=DB，若AB=6，BE=2，则AC长为6或10．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的性质即可得到结论；
（2）分两种情况：当点C在线段AF上，Rt△DEB≌Rt△DFC，CF=BE；当点C在线段AF的延长线上时，Rt△DEB≌Rt△DFC，可得到CF=BE．

解答 （1）证明：∵D是∠MAN内部一点，DE⊥AM于E，DF⊥AN于F，且DE=DF，
∴AD平分∠MAN；
（2）解：
分两种情况：
①如图1，当点C在线段AF上时，
∵DE⊥AM于E，DF⊥AN于F，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DC=DB}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC，
∴CF=BE=2，
∴AC=AB=6，
②如图2，当点C在线段AF的延长线上时，
同理可证Rt△DEB≌Rt△DFC，
∴CF=BE=2，
∵AF=AE=AB+BE=8，
∴AC=8+2=10．
故答案为：6或10．

点评 本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，全面思考问题，分类讨论是解答的关键．